时变、时谐电磁场

概述

电磁学的基础概念起源于19世纪，通过诸多科学家的实验与发现逐步形成，包括安培定律、法拉第电磁感应定律、高斯定律和高斯磁定律。这些实验成果最终由麦克斯韦整合为统一的矢量方程组，即麦克斯韦方程组。

麦克斯韦方程组

微分形式

微分形式	积分形式
\(\nabla \times \mathbf{E} = - \mathbf{M}_i - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)	\(\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \iint_S \mathbf{M}_i \cdot d\mathbf{s} - \frac{\partial}{\partial t} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s}\)
\(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_i + \mathbf{J}_c + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\)	\(\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S \mathbf{J}_i \cdot d\mathbf{s} + \iint_S \mathbf{J}_c \cdot d\mathbf{s} + \frac{\partial}{\partial t} \iint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s}\)
\(\nabla \cdot \mathbf{D} = q_{ev}\)	\(\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = Q_e\)
\(\nabla \cdot \mathbf{B} = q_{mv}\)	\(\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = Q_m\)
\(\nabla \cdot \mathbf{J}_{ic} = - \frac{\partial q_{ev}}{\partial t}\)	\(\oint_S \mathbf{J}_{ic} \cdot d\mathbf{s} = -\frac{\partial}{\partial t} \iiint_V q_{ev} \, dv = -\frac{\partial Q_e}{\partial t}\)

麦克斯韦方程的微分形式是求解边值电磁问题最广泛的表示方法。它用于描述和关联空间中任何时间的任何点的场矢量、电流密度和电荷密度。为了使这些表达式有效，我们假设场向量是单值的、有界的、位置和时间的连续函数，且连续可导。

法拉第电磁感应定律

\[ \nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{M_i}-\frac{\mathbf{\partial B}}{\partial t}=-\mathbf{M_i}-\mathbf{M_d}=-\mathbf{M_t} \]

公式(1)描述了电场 \(\mathbf E\) 的旋度由磁化电流和时变磁场共同决定。其中 \(\mathbf{M_i}\) 是外加磁流密度（单位：伏特/平方米）。这是一个假设的物理量，用于描述材料中外部强加的磁化流。考虑到麦克斯韦方程组的对称性，参考位移电流密度的概念，引入位移磁流密度 \(\mathbf{M_d}\)，对应时变磁场引起的电效应。

推广的安培环路定律

\[ \nabla\times \mathbf{H}=\mathbf{J_i}+\mathbf{J_c}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{J_{ic}}+\frac{\partial \mathbf D}{\partial t}=\mathbf{J_{ic}}+\mathbf{J_{d}} \]

公式(2)描述了电磁场中的一个重要现象：电流和变化的电场会共同产生环绕的磁效应。其中 \(\mathbf{J_i}\) 表示自由电流密度，通常由自由电荷的移动产生。\(\mathbf{J_c}\) 表示传导电流密度，通常由材料中的导电性引起。\(\mathbf{J_d}\) 表示位移电流密度，\(\mathbf{J_d}=\partial\mathbf D/\partial t\)。

麦克斯韦通过引入位移电流项来修正安培定律，使其适用于包含时间变化电场的动态电磁场。在电介质（如绝缘材料）中，位移电流密度可以解释为绑定电荷因极化而产生的效应，表现为等效电流。

高斯电场定律

\[ \nabla · \mathbf D = q_{ev} \]

物理含义为：电场的发散性与区域内的电荷密度有关，\(\mathbf{q_{ev}}\) 表示体电荷密度。正电荷产生电场向外发散，负电荷产生电场向内汇聚。

高斯磁场定律

\[ \nabla · \mathbf B = q_{mv} \]

左侧散度表示磁场的源强度。在经典电磁理论中，\(\nabla·\mathbf B=0\)，即磁场没有真正的“源”。这里的公式中引入 \(\mathbf{q_{mv}}\)，用于处理磁单极子的假设。磁荷和磁电流密度在传统电磁学中被认为不可实现，这是因为磁单极子至今尚未被发现。然而，为了数学上的对称性和平衡性，在扩展理论中引入了这些概念，使麦克斯韦方程组更加对称，也使其理论上可以处理磁单极子存在的情况。

图 1：电流和磁流密度类比：(a)电流密度. (b)磁流密度.

上图a描述了一个电流源通过电阻和平行板电容器组成的电路，其中总电流密度 \(\mathbf{J_i}\) 由电流源提供，并分为两部分：一部分是流经电阻的传导电流密度 \(\mathbf{J_c}\)，其来源于导体内电荷的实际移动；另一部分是通过电容器中介电材料的位移电流密度 \(\mathbf{J_d}\)，这是由电容器中电场随时间的变化产生的。

图b则展示了一个电压源连接到缠绕有高磁导率磁芯的导线电路，其中电压源可以视为产生外加磁流密度 \(\mathbf{M_i}\) 的电源，\(\mathbf{M_i}\) 进一步导致了磁芯材料中的位移磁流密度。位移电流和位移磁流的英文定义中都有：displacement current，位移的概念用于描述时变电磁场如何对静态电磁场产生影响。

电荷守恒方程的微分形式：

除了四个经典的麦克斯韦方程外，还有另外一个方程涉及电流密度 \(\mathbf{J_{ic}}\) 和电荷密度 \(q_{ev}\) 的变化，这个方程与其它四个麦克斯韦方程并不独立（可以从法拉第电磁感应定律和位移磁流密度的定义推导得到）：

\[ \nabla · \mathbf{J_{ic}} = -\frac{\partial q_{ev}}{\partial t} \]

公式左侧是电流密度 \(\mathbf{J_{ic}}\) 的散度，表示某一区域中电流的“流出速率”。右侧表示体电荷密度 \(q_{ev}\) 随时间的变化率，负号表示电荷流出。公式(5)的核心思想是：一个区域内电荷的减少必须由净电流流出该区域决定。

积分形式

微分形式要求电磁场在局部是平滑可导的，因为它描述的是电磁场在一个点或小范围内的变化。积分形式描述了在一个扩展的空间区域上的场向量、电荷密度和电流密度之间的关系。积分形式通常只用于解决具有完全对称性的电磁边值问题（如矩形、圆柱形、球形等对称性），其优点是所讨论的场及其导数并不需要具有连续的分布。

利用Stokes定理和散度定理，可以实现微分形式和积分形式的互相转换。

Stokes定理

\[ \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{s} \]

对于任意向量，Stokes定理指出沿封闭路径 \(C\) 的向量 \(\mathbf{A}\) 的线积分等于向量 \(\mathbf{A}\) 的旋度与曲面 \(S\) 的法向量点积的积分，其中曲面 \(S\) 的边界是路径 \(C\)。

散度定理

\[ \iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{s} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \,dv \]

散度定理表明，对于任意向量 \(\mathbf A\) ，向量 \(\mathbf A\) 的法向分量在曲面 \(S\) 上的闭曲面积分等于 \(\mathbf A\) 在被 \(S\) 所包围的体积 \(V\) 上的散度的体积分。

对法拉第电磁感应定律公式两侧进行面积分，可以得到：

\[ \iint_S (\nabla\times\mathbf{E})=-\iint_S \mathbf{M_i}\cdot d\mathbf{s}-\iint_S\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf{s}=-\iint_S \mathbf{M_i}\cdot d\mathbf{s}-\frac{\partial}{\partial t}\iint_S \mathbf{B_i}\cdot d\mathbf{s} \]

对上式应用Stoke定理，可以简化为：

\[ \oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf l=-\iint_S\mathbf{M_i}\cdot d\mathbf s-\frac{\partial}{\partial t}\iint_S\mathbf B\cdot d\mathbf s \]

公式(9)是麦克斯韦方程组中法拉第电磁感应定律的积分形式，它表明一个环路上的电动势等于穿过该环路的磁通量随时间的变化率。采用类似的方法（面积分、体积分）可以得到其他几个麦克斯韦方程的积分形式，其转换结果可参考开头的表格。

本构参数及关系

材料中含有带电粒子，当这些材料受到电磁场的作用时，其带电粒子与电磁场矢量发生相互作用，从而产生电流，并改变电磁波在这些介质中的传播。我们给出了一组有关电磁场矢量的三个表达式，这些表达式被称为本构关系（物质方程）。

介电常数

\[ \mathbf D = \hat{\varepsilon} * \mathbf E \]

其中 \(\hat{\varepsilon}\) 表示介质的时变介电常数，单位是farads/meter。介电常数描述了介质在电场中的极化效应，即介质中电荷分布随电场变化而重新排列的能力。介电常数越大，介质在电场中越容易被极化，导致电场在介质中的作用被削弱得更多。介电常数还反映了介质存储电能的能力，较大的介电常数意味着材料可以存储更多的电能。

卷积的引入是为了处理时变效应。在真空中介电常数是一个固定值，不随时间变化：\(\hat{\varepsilon}=\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\)。在高频段（如微波或光学波段）下，介电常数可能会随频率变化，这是因为材料的极化响应时间受到限制。这种频率依赖性是电磁学和材料科学研究的重要内容。

磁导率

\[ \mathbf{B} = \hat{\mu} * \mathbf H \]

其中\(\hat{\mu}\)是介质的时变磁导率，用于描述材料对磁场的响应能力，单位为henries/meter。在真空中，\(\hat{\mu}=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\)。

电导率

\[ \mathbf{J_c} = \hat{\sigma} * \mathbf E \]

其中 \(\hat{\sigma}\) 是介质的时变导电率，反映了材料中传导电流 \(\mathbf{J_C}\) 对电场 \(\mathbf E\) 的动态响应。在时变情况下，卷积描述了电场与导电率随时间变化的相互作用，比如材料的记忆效应或非线性效应。真空被视为理想的绝缘体，其导电率为零。

本构参数用于表征材料的电学和磁学性质。材料通常根据其主要响应特性分为介电材料、导电材料和磁性材料。其中，介电材料表现为在外加电场作用下的极化特性，导电材料表现为显著的导电性（传导电流密度占主导），磁性材料则表现为在外加磁场作用下的磁化特性。此外，半导体材料介于介电材料和导电材料之间，其导电性可以通过掺杂或外加场进行调控。在某些情况下，半导体中位移电流和传导电流可能同时显现并对材料的电学行为产生影响。

在频域中，若本构参数是时间不变的，则时间域中的卷积操作可以简化为频域中的乘积。这一性质基于傅里叶变换的基本原理。本构参数可以是位置、场强和频率的函数，这表明它们可能受材料的空间分布（均匀性或非均匀性）、外加场强度（线性或非线性特性）以及频率（色散或非色散特性）等因素的影响。

根据材料的晶格结构和行为（例如分子排列方式、对外加场的响应特性等），材料的本构参数可以进一步分类为以下几类：

线性与非线性：线性材料的本构参数不随外加场强度变化，非线性材料则相反。
均匀与非均匀：均匀材料的本构参数与位置无关，非均匀材料则随位置变化。
各向同性与各向异性：各向同性材料的本构参数与外加场方向无关，各向异性材料则随方向变化（如晶体）。
色散与非色散：色散材料的本构参数随频率变化，非色散材料则不变。

电路域关系

基尔霍夫电压定律

麦克斯韦方程是描述电磁场的基本方程，但它也可以用电路量（如电压、电流）来表示，这些对应形式称为电路方程。例如基尔霍夫定律，实际上是更一般的麦克斯韦场方程的特例。

在静电学中，电势定义为电场的负线积分，这里省去负号可得：

\[ \sum v=\oint_C \mathbf E\cdot d\mathbf l\text{(volts)} \]

在没有外加磁流密度（\(\mathbf{M_i}=0\)）的情况下，公式(9)法拉第定律的右侧可以改写为：

\[ -\frac{\partial}{\partial t}\iint_S\mathbf B\cdot d\mathbf s=-\frac{\partial\psi_m}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial t}(L_si)=-L_s\frac{\partial i}{\partial t}\text{(webers/second = volts)} \]

基尔霍夫电压定律在这里被看作是麦克斯韦方程中法拉第定律的电路形式，场关系（下式左侧）和电路关系（下式右侧）分别表示麦克斯韦方程在电磁场域和电路域中的等效形式。其中 \(L_s\) 表示电感，\(\psi_m=L_s i\)，因此可以得到：

\[ \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = -\frac{\partial \psi_m}{\partial t} \iff \sum v=-\frac{\partial \psi_m}{\partial t}=-L_s\frac{\partial i}{\partial t} \]

基尔霍夫电流定律

首先根据电流应该是电流密度的积分：

\[ \sum i=\oint_S \mathbf{J_{ic}}\cdot d\mathbf s \]

然后考虑电荷守恒公式的积分形式可以得到：

\[ \oint_S\mathbf{J_{ic}}\cdot d\mathbf s=-\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V q_{ev}dv=-\frac{\partial Q_e}{\partial t} \iff \sum i=-\frac{\partial Q_e}{\partial t}=-C_s\frac{\partial v}{\partial t} \]

同时，总电流还可以用电荷变化率表示：

\[ \sum i=-\frac{\partial Q_e}{\partial t}=-\frac{\partial C_s v}{\partial t}=-C_s\frac{\partial v}{\partial t} \]

其中，\(C_s\) 表示电容，\(Q_e\) 表示电荷。将公式(16)和(17)联立可以得到：

\[ \begin{aligned} {\oint}_{S} \mathbf{J_{ic}}\cdot d\mathbf{s} = -\frac{\partial}{\partial t} \iiint_S q_{ev} d\mathbf{v} = -\frac{\partial L_e}{\partial t} \iff \sum i=-\frac{\partial L_e}{\partial t}=-C_s\frac{\partial v}{\partial t} \end{aligned} \]

公式左侧是电荷守恒的场表达，右侧是其在电路中的表达形式。

基本电路定律

电路中的其它基本定律，例如经典的欧姆定律等都可以在电磁场中找到对应的表达式，左侧是场域，右侧是电路域：

\[ \begin{aligned} J_c = \sigma E &\iff i_R=\frac 1Rv_R=Gv_R\\ B = \mu H &\iff \psi_m=Li_L\\ M_d=\mu\frac{\partial H}{\partial t} &\iff v_L=L\frac{\partial i_L}{\partial t}\\ D=\varepsilon E &\iff L_e=Cv_e\\ J_d=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} &\iff i_C=C\frac{\partial v_C}{\partial t} \end{aligned} \]

下图总结了场理论和电路理论的关系：

图 2：场理论和电路理论

边界条件

有限电导率介质

切向关系

在介质的边界处，由于介质电学性质的不连续性，场量可能发生跳跃。在这种情况下，微分形式的方程不再适用，必须通过边界条件来描述场矢量在边界两侧的变化，直接分析场量本身，而不是其导数。这种方法是研究电磁场跨越边界行为的关键。

图 3：切向边界条件

如图3所示，首先考虑边界处的法拉第电磁感应定律。假设此时两介质之间的界面上没有电荷或源，并且假设没有外加磁化电流( \(\mathbf{M_i}=0\) )：

\[ \oint_{C_0}\mathbf E\cdot dl=-\frac{\partial}{\partial t}\iint_{S_0}\mathbf B\cdot d\mathbf{s} \]

这个公式是法拉第电磁感应定律的积分形式，描述了一个闭合路径 \(C_0\) 上的电流环流等于穿过该路径包围的曲面 \(S_0\) 的磁通变化量。如果跨越界面交界处的矩形高度 \(\Delta y\) 趋近于0，公式(21)可以简化为：

\[ \begin{aligned} \mathbf {E_1}\cdot \hat{\mathbf{a}}_x\Delta x-\mathbf {E_2}\cdot \hat{\mathbf{a}}_x\Delta x=0\\ E_{1t}-E_{2t}=0\Rightarrow E_{1t}=E_{2t} \end{aligned} \]

公式(22)也可以等效于： \[ \hat{\mathbf{n}}\times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0\quad \sigma_1,\sigma_2\text{ 是有限的} \]

说明在沿界面边界没有外加的磁流密度时，电场在界面上的切向分量是连续的。

这里要求电导率有限的原因是，如果电导率无穷大（完美导体），此时导体内部拥有无限多的自由电荷，当外部电场施加到导体时，这些自由电荷会立即在导体内部移动以中和外加电场的作用。导体中不允许存在静电场，这是完美导体的重要特性。

对于如图3中同样的矩形区域，假设介质表面没有自由移动电流 \(\mathbf{J_i}=0\)，根据安培环路定律的积分形式：

\[ \oint_C \mathbf H\cdot dl=\iint_S\mathbf{J_i}\cdot ds+\iint_S\mathbf{J_c}\cdot ds+\frac{\partial}{\partial t}\iint_S \mathbf D\cdot ds \]

可得到：

\[ \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0\quad \sigma_1,\sigma_2\text{ 是有限的} \]

说明磁场强度的切向分量在介质交界面也是连续的。电场和磁场除了在切向上满足上述关系，在法向上也存在类似的关系。

法向关系

图 4: 法向边界条件

考虑如图4中的跨越两种介质分界面的圆柱体，其上没有电荷分布 \(Q_e=0\)。因此高斯的电场公式可以改写为，这也是真空中高斯电场定理的公式：

\[ \oint_{A_0,A_1}\mathbf D\cdot ds=0 \]

当圆柱体高度 \(\Delta y\) 趋近于0时，侧面积 \(A_1\) 也同样趋近于0。此时再考虑公式(26)，发现可以忽略侧面积 \(A_1\) 的作用，将公式简化为：

\[ \begin{aligned} &\mathbf{D}_2\cdot\hat{\mathbf{a}}_yA_0-\mathbf{D}_1\cdot\hat{\mathbf{a}}_yA_0=0\\ &D_{2n}-D_{1n}=0\Rightarrow D_{2n}=D_{1n} \end{aligned} \]

最终得到：

\[ \hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{D_2}-\mathbf{D_1})=0\quad \sigma_1,\sigma_2\text{ 是有限的} \]

说明电通量密度 \(\mathbf D\) 在介质边界处的法向分量是连续的。但是根据本构关系 \(\mathbf D=\varepsilon\mathbf E\)，可以将上式改写为：

\[ \hat{\mathbf{n}}\cdot(\varepsilon_2\mathbf E_2-\varepsilon_1\mathbf E_1)=0\quad \sigma_1,\sigma_2\text{ 是有限的} \]

公式(29)说明电场强度 \(\mathbf E\) 的法向分量是不连续的，这和其电通量密度的关系相反，本质原因是两侧介质的介电常数不一致，介质的极化会影响电场响应，导致不连续。

采用类似的分析方式，我们可以得到：

\[ \hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B_2}-\mathbf{B_1})=0\quad \sigma_1,\sigma_2\text{ 是有限的} \]

同样可以推导得到磁通量密度 \(\mathbf B\) 的法向分量连续，但是磁场强度 \(\mathbf H\) 的法向分量不连续。原因是介质的磁化率不一致，对磁场的响应不一致。

无限电导率介质

如果两种介质的界面上存在实际的电源和电荷（例如线性电流或表面电荷），那么边界条件需要修正，目的是纳入这些电源和电荷的影响。还有一种情况是两介质中的任何一种是完美电导体，完美电导体可以被看作是对电场完全屏蔽的，因此电场的分布需要重新计算以满足这一条件。

完美磁导体类似完美电导体，是一种理想化的材料。其内部在电磁场作用下没有时间变化的电场和磁场，切向磁场分量在其表面消失，此时也需要重新考虑边界条件。

边界条件	通用情况	有限电导率，无源、无电荷 \(\sigma_1, \sigma_2 \neq \infty\)	介质 1 为无限电导率 \(\sigma_1 = \infty; \sigma_2 \neq \infty\)	介质 1 为无限磁导率 \(\mathbf{E}_1 = \mathbf{H}_1 = 0\)
切向电场强度	\(-\hat{n} \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = \mathbf{M}_s\)	\(\hat{n} \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0\)	\(\hat{n} \times \mathbf{E}_2 = 0\)	\(-\hat{n} \times \mathbf{E}_2 = \mathbf{M}_s\)
切向磁场强度	\(\hat{n} \times (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = \mathbf{J}_s\)	\(\hat{n} \times (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = 0\)	\(\hat{n} \times \mathbf{H}_2 = \mathbf{J}_s\)	\(\hat{n} \times \mathbf{H}_2 = 0\)
法向电通量密度	\(\hat{n} \cdot (\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = q_{es}\)	\(\hat{n} \cdot (\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = 0\)	\(\hat{n} \cdot \mathbf{D}_2 = q_{es}\)	\(\hat{n} \cdot \mathbf{D}_2 = 0\)
法向磁通量密度	\(\hat{n} \cdot (\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = q_{ms}\)	\(\hat{n} \cdot (\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0\)	\(\hat{n} \cdot \mathbf{B}_2 = 0\)	\(\hat{n} \cdot \mathbf{B}_2 = q_{ms}\)

功率和能量

坡印廷矢量

坡印廷矢量（Poynting Vector）是一个重要的矢量物理量，广泛用于描述电磁场中的能量流动特性。它不仅定义了电磁场中能量流的方向，还量化了能量流的密度，从而揭示了电磁能量如何在空间中传播的规律性。

为了推导与能量相关的数学表达式，我们首先定义一个由闭合曲面 \(S\) 包围的体积为 \(V\) 的区域，其中的电磁性质参数为 \(\varepsilon,\mu,\sigma\)。

图 5：电磁场能量

坡印廷矢量的表达式为：

\[ \mathbf S=\mathbf E\times \mathbf H \]

其中 \(\mathbf S\) 是坡印廷矢量，表示单位时间内通过单位面积的能量流密度；\(\mathbf E\) 是电场强度矢量，\(\mathbf H\) 是磁场强度矢量，\(\mathbf E\times\mathbf H\) 表示电场强度与磁场强度的矢量积，其方向给出了能量流动的方向，大小表示单位面积上的能量流动率。物理量 \(\mathbf S\) 也具有能量密度相关的单位（瓦/平方米）。

时谐电磁场

在许多实际的电磁波系统中，例如无线通信、雷达、光纤传输等，电磁波的行为通常呈现为正弦形式的时间变化，这种形式的时间依赖性被称为时谐(time-harmonic)。

一般来说，时谐信号可以表示为：

\[ e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t) \]

它能够同时包含正弦信号和余弦信号的特性，从而为电磁波中振荡行为的数学描述提供了便利。对于时谐场，瞬时电磁场可以通过其复数形式表示并提取为瞬时值。设某个电场分量的复数形式为：

\[ \mathbf E=\tilde{\mathbf E}e^{j\omega t} \]

其中 \(\tilde{\mathbf E}\) 是复数形式的电场强度矢量，包含了振幅和相位信息，\(e^{j\omega t}\) 则描述了时谐变化。那么，电场的瞬时值（真实物理量）可以通过取复数的实数部分表示：

\[ \mathbf{E}(t) = \text{Re}\{\mathbf{\tilde{E}} e^{j\omega t}\}=\text{Re}\{\mathbf{E_0}e^{j\phi} e^{j\omega t}\}=\mathbf{E_0}\cos(\omega t+\phi) \]

这样，瞬时电磁场矢量可以用一种非常简单的方式与它们的复数形式联系起来。时谐表示有以下几个优点： - 简化微分运算：在分析电磁波时，电场和磁场通常满足麦克斯韦方程。通过使用复数时谐形式，时间微分 \(\partial/\partial t\) 可以简单地转化为乘以 \(j\omega\)，从而简化了计算。 - 包含振幅和相位信息：复数形式能够同时描述场的振幅和相位，使得分析更加直观。 - 简化叠加： 由于电磁波满足叠加原理，复数时谐形式便于描述多个信号的相互作用，例如干涉和衍射现象。

如果在时谐的情况下，坡印廷矢量的表达形式也略有不同：

\[ \begin{aligned} E(x,y,z;t)&=Re[\mathbf E(x,y,z;t)e^{j\omega t}]=\frac12[\mathbf Ee^{j\omega t}+(\mathbf Ee^{j\omega t})^*]\\ H(x,y,z;t)&=Re[\mathbf H(x,y,z;t)e^{j\omega t}]=\frac12[\mathbf He^{j\omega t}+(\mathbf He^{j\omega t})^*]\\ S&=\frac12[Re(\mathbf E\times\mathbf H^*)+Re(\mathbf E\times\mathbf He^{j\omega t})] \end{aligned} \]

图6中整理了积分、微分形式的瞬时和时谐电磁场公式，仅供参考：

图 6：瞬时和时谐电磁场公式

物质的电磁性质

电介质、极化与介电常数

在电介质（Dielectrics）中，原子和分子内部的主要电荷（包括负电荷和正电荷）受到原子核和分子内部力的限制，无法像导体中的自由电荷那样自由移动。因此，理想情况下，电介质中不存在自由电荷。这一特性使电介质在电场作用下的行为显得尤为特殊。

从宏观上看，电介质的原子和分子整体是电中性的。然而，当外加电场施加到电介质时，其内部的原子或分子会发生电荷分布的轻微位移——正电荷向电场方向移动，负电荷朝相反方向移动。这种现象导致电偶极子（Electric Dipole）的形成，这一过程被称为极化（Polarization）。

对于电介质，电偶极子的影响可以用其偶极矩来表示：

\[ d\mathbf{p_i}=Ql_i \]

图 7: 偶极矩

总偶极矩由所有偶极子的偶极矩的和组成：

\[ \mathbf p_t=\sum_{i=1}^{N_e\Delta v}d\mathbf p_i \]

电极化矢量 \(\mathbf P\) 被定义为单位体积内的偶极矩:

\[ \mathbf P=\lim_{\Delta v\to0}\left[\frac{1}{\Delta v}\mathbf p_t\right]=\lim_{\Delta v\to0}\left[\frac{1}{\Delta v}\sum_{i=1}^{N_e\Delta v}d\mathbf p_i\right](C/m^2) \]

电极化现象可以主要通过以下三种机制实现：

图 8：电介质中产生电极化的机制

偶极或取向极化：某些材料在没有外加电场的情况下，由于其内部结构，具有永久的电偶极矩，这些偶极矩在无电场时是随机取向的，也就是说，它们的方向杂乱无章，不呈现特定的排列。取向极化描述了在外加电场作用下，极性材料内部的永久偶极矩从无序排列变为与电场对齐的过程。
离子或分子极化：在外加电场作用下，材料中的正负离子因受到电场力而发生相对位移，从而引起极化的过程。离子极化的特性在许多含离子键的化合物中较为显著，例如氯化钠（NaCl）等晶体材料。
电子极化：由于外加电场使得原子的电子云相对于原子核发生位移，从而产生偶极矩的过程。

图 9：材料的宏观尺度模型. (a)非极性. (b)极性.

从宏观角度分析材料的极化行为，非极性材料的分子结构对称，分子内部正负电荷中心重合，因此材料内部不存在偶极矩。这意味着在宏观尺度上，非极性材料没有任何极性表现，极化强度始终为零。而极性材料的分子天然具有永久偶极矩（典型的 \(H_2O\) 分子），但在无外加电场时，受热运动的影响，这些偶极矩的方向呈现完全随机分布，偶极之间的效应相互抵消。宏观上，这种随机取向使得极性材料的极化强度表现为零。

当在材料两侧施加外加电场 \(E_a\)，材料的内部会发生极化现象，产生一个与外加电场相关的宏观响应。总电位移矢量 \(\mathbf D\) 包括外加电场 \(\mathbf E_a\) 和极化效应 \(\mathbf P\) 的叠加：

\[ \begin{aligned} \mathbf D&=\varepsilon_0\mathbf E_a+ \mathbf P\\ \mathbf P&=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E_a \end{aligned} \]

其中 \(\chi_e\) 是电极化率，表示材料响应电场时的极化能力。将上述公式合并可以得到：

\[ \begin{aligned} \mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E_a+\varepsilon_0\chi_e\mathbf E_a&=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E_a}=\varepsilon_s\mathbf{E_a}\\ \varepsilon_s&=\varepsilon_0(1+\chi_e) \end{aligned} \]

\(\varepsilon_s\) 表示材料的总介电常数，包括真空的贡献。

磁化与磁导率

磁性材料是指在外加磁场作用下表现出磁极化现象（magnetic polarization）的材料。这种现象来源于材料内部的磁偶极子（magnetic dipoles）在外加磁场的影响下趋于排列整齐的结果。

图 10：磁化模型. (a)轨道电子. (b)等效环形电路. (c)等效方形电路.

单一磁矩的表达式为：

\[ d\mathbf m_i=I_id\mathbf s_i=I_i\hat{\mathbf n}_ids_i=\hat{\mathbf n}_iI_ids_i \quad(A\cdot\text{m}^2) \]

材料中总磁矩为所有磁矩的叠加：

\[ \mathbf m_t=\sum_{i=1}^{N_m\Delta v}d\mathbf m_i=\sum_{i=1}^{N_m\Delta v}\hat{\mathbf n}_iI_ids_i \]

为了得到磁化矢量强度 \(\mathbf M\) 的宏观表示，可以对体积趋近于零的极限计算：

\[ \mathbf M=\lim_{\Delta v\to0}\left[ \frac1{\Delta v}\mathbf m_t\right]=\lim_{\Delta v\to0}\left[ \frac1{\Delta v}\sum_{i=1}^{N_m\Delta v}d\mathbf m_i\right]=\lim_{\Delta v\to0}\left[ \frac1{\Delta v}\sum_{i=1}^{N_m\Delta v}\hat{\mathbf{n}}_iI_ids_i\right] (\text{A/m}) \]

外加磁场会导致材料产生磁化矢量强度 \(\mathbf M\)，从而影响材料内的磁场通量密度 \(\mathbf B\)：

\[ \begin{aligned} \mathbf B&=\mu_0(\mathbf H_a+\mathbf M)\\ \mathbf M&=\chi_m\mathbf H_a \end{aligned} \]

结合 \(\mathbf M\) 的表达式，磁感应强度 \(\mathbf B\) 可以进一步表示为:

\[ \begin{aligned} \mathbf B&=\mu_0(\mathbf H_a+\chi_m\mathbf H_a)=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf H_a=\mu_s\mathbf H_a \end{aligned} \]

其中 \(\mu_s\) 是材料的磁导率，\(\chi_m\) 是磁化率，\(H_a\) 是外加磁场强度。

磁化现象还会在材料内部产生一种束缚磁流密度 \(\mathbf J_m\) ，其表达式为：

\[ \mathbf J_m=\nabla\times\mathbf M \]

磁场强度 \(\mathbf H\) 可以表达为：

\[ \begin{aligned} \nabla\times H&=\mathbf J_i+\mathbf J_c+\mathbf J_m+\mathbf J_d\\ &=\mathbf J_i+\sigma\mathbf E+\nabla\times\mathbf M+j\omega\varepsilon\mathbf E \end{aligned} \]

根据净磁化矢量 \(\mathbf M\) 的方向（是否增强或削弱外加磁场），磁性材料可以分为两类：

抗磁性材料：抗磁性的定义为当外加磁场作用时，材料内部的磁化方向与外加磁场方向相反。特征是磁化率 \(\chi_m\) 为负值。，且对磁场的反应较弱。
顺磁性及其他磁性材料：顺磁性的定义为磁化方向与外加磁场方向一致，磁化率 \(\chi_m\) 为正值，响应也较弱。铁磁性材料能够强烈地响应外加磁场，表现出强磁性，磁化率很高。其他磁性：反铁磁性、亚铁磁性。